Fractales en los Mercados Financieros

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Introducción

La economía, a lo largo de la historia, se ha estudiado bajo paradigmas lineales. Es decir, desde un punto de vista en el cual para cada acción hay una reacción proporcional. Sin embargo, cuando lo aterrizamos a la realidad nos damos cuenta de que estas reacciones no se dan tan proporcionalmente.

El estudio de este tema se ha dado bajo la comparativa de los modelos económicos financieros tradicionales y académicos con otros modelos no lineales.[1]

Es en este punto donde nos encontramos con la problemática debido a las limitaciones que se presentan. Las previsiones realizadas con modelos tradicionales, cuando han sido acertadas, han sido relevantes en periodos de tiempo cortos, pero en la realidad un pequeño cambio en una variable tiene un impacto superior al que hubiera predicho la teoría.

El mercado de capitales, pese a lo que se creería, no se comporta como lo que predeciría la teoría del paseo aleatorio[2], sino que tiene situaciones extremas (“outliers”) con una duración en el tiempo más largo que los que se podría atribuir como ruido[3].  Es decir, que los valores más extremos se dan con mayor probabilidad de lo que estiman los modelos tradicionales, es por eso que aquí se encuentra un claro indicio de que los modelos que presuponen una distribución de normalidad, no se ajustan a la realidad.

La herramienta que se utiliza para predecir el futuro económico es la econometría, sin embargo, al hacer uso de ella en algunos casos podemos encontrar las siguientes limitaciones.

  • Equilibrio: Los mercados tienen equilibrio debido a que los horizontes de los inversores son a distinto plazo, esto asegura liquidez en los traders. La econometría, por su parte, presupone que todos los inversores tienen el mismo horizonte temporal.
  • Tratamiento del tiempo: La visión econométrica ignora el tiempo, o en el mejor de los casos lo trata como una variable más, lo que hace que no se tenga en cuenta que un cambio en una variable pueda cambiar la predicción.
  • Toma de decisiones de los humanos: Este es un aspecto cualitativo que no se toma mucho en cuenta pero sí es importante debido a que, como humanos, estamos influenciados por el pasado. Nuestras expectativas sobre el futuro vienen marcadas por nuestras experiencias.

Lo que el presente trabajo busca demostrar es que los mercados financieros no se ajustan a un movimiento browniano aleatorio[4], sino que poseen un movimiento browniano fraccionario, para lo cual se hará un ajuste con un enfoque en la geometría fractal para estudiar los precios de las acciones.

Hipótesis del mercado eficiente

Esta hipótesis es una constante en la mayoría de los modelos tradicionales. Según esta hipótesis un mercado eficiente es aquel donde los precios de los títulos negociados en los mercados financieros reflejan toda la información disponible y se ajustan total y rápidamente a la nueva información. Cuando un mercado es eficiente los cambios en los precios de los valores son imprevisibles y por ello se comportan como un paseo aleatorio.

La hipótesis tiene las siguientes implicaciones:

  • Los mercados no tienen memoria
  • Todos los inversores tienen la misma información, por lo tanto todos los inversores tienen las mismas probabilidades de ganar o perder.
  • Los activos financieros entran en competencia entre sí, puesto que es la única manera de que toda la información que afecte el valor intrínseco de los títulos se refleje inmediatamente en sus precios
  • Todos los títulos están perfectamente valorados, por tanto, los inversores obtendrán rendimiento sobre su inversión que será el apropiado para el nivel de riesgo asumido, sin importar cuáles sean los títulos adquiridos.

Dentro de los modelos tradicionales más utilizados encontramos los siguientes: Teoría de carteras de Markowitz, Modelo de Mercado de Sharpe y Modelo CAPM, sin embargo, para fines de este trabajo no se profundizará en la teoría implícita en cada uno de ellos, lo que sí podemos decir es que estos modelos no sólo nos presentan una visión simplificada del funcionamiento de los mercados financieros, sino que muchas veces el fundamento empírico que tienen no les permite realizar buenas predicciones ni detallar en los factores que impulsan los movimientos del mercado o la manera en que estos ocurren.

Fallos en los modelos tradicionales

En la siguiente parte, analizaremos las principales asunciones que toman estos modelos y se contrastarán con la realidad de los mercados.

  • 1ª Asunción: La gente es racional y su único objetivo es enriquecerse.
    En realidad, la gente no siempre actúa de forma racional y en su propio interés. Lo que sucede normalmente es que se ve influido por sus emociones, lo que provoca que el mercado no constituya un modelo racional.
  • 2ª Asunción: Todos los inversores son iguales. Los inversores tienen los mismos objetivos y el mismo horizonte temporal. Por lo tanto, dada la misma información, tomarán las mismas decisiones.

En realidad, sin tomar en cuenta las diferencias de patrimonio, es obvio que no todos son iguales. No todos tienen el mismo horizonte de tiempo, ni los mismos objetivos.

  • 3ª Asunción: El cambio de precios es prácticamente continuo, es decir, cambian de forma paulatina.

En realidad, la discontinuidad es un ingrediente esencial de los mercados financieros.

  • 4ª Asunción: Los cambios de precios siguen un movimiento browniano aleatorio, el cual tiene como base tres conceptos:
  1. Independencia estadística de los precios: Cada nuevo precio es independiente del anterior.
  2. Estacionariedad estadística. El proceso que genera los cambios de precio, sea cual sea es invariante.
  3. Normalidad en los precios. Los precios se ajustan a una distribución normal, lo que quiere decir que los cambios grandes son escasos con una frecuencia muy pequeña.

En realidad, los precios no son independientes, sino que tienen memoria, lo que pasa en los mercados hoy, afecta el precio de mañana. También sabemos que los cambios del precio no son invariantes, un rumor, una mala noticia puede afectar de forma muy fuerte el precio. Y por último, los cambios de los precios no siguen una distribución normal sino por el contrario presentan distribuciones leptocúrticas[5].

Introducción a los fractales

El término fractal proviene del latín “fractus” que significa “fracmentado” o “fracturado”.

Un fractal es el conjunto de formas generadas por un proceso de repetición. Se caracteriza por poseer similitud a toda escala, por no ser diferenciables y por mostrar dimensión fraccional, en pocas palabras, es como diría L. Kadanoff: “un fractal contiene copias de sí mismo, dentro de sí mismo”.

Para poder determinar una figura como fractal se requieren las siguientes propiedades:

  • Auto-similitud: Consiste en generar una copia similar de un objeto cualquiera en una escala diferente. De este modo, dos objetos son similares si poseen la misma geometría[6], aunque tengan diferente tamaño. Es decir, son isontrópicos[7]. Lo que se ve a una distancia focal será similar a lo que se ve a otra.
  • Autoafinidad: Un objeto fractal se dice que es auto-afín cuando permanece invariante bajo la escala de transformación anisotrópica[8].
  • Dimensión fractal: Esta noción nace de la manera de cuantificar cuán rugosa es una curva[9].

Tipos de fractales

Existen dos tipos bien definidos de fractales. Los lineales y los no lineales.

  • Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un simple cambio de variación de sus escalas, es decir, son exactamente idénticos en todas sus escalas hasta el infinito.
  • Los fractales no lineales, en cambio, son aquellos que se generan a partir de distorsiones complejas.

Por su parte, la geometría fractal consiste en identificar patrones repetitivos, analizarlos, cuantificarlos y manipularlos. Principalmente nos permite analizar tres puntos:

  • Provee dimensiones adicionales y más cercanas a la realidad en comparación de la geometría euclidiana.
  • La mayoría de los sistemas complejos son caóticos es decir, tienen conductas extrañas o campos que no pueden ser representados en dimensiones enteras.
  • Son escalables, es decir, se puede reducir o ampliar su análisis para observar detalles, mientras las formas básicas se conserven en cada escala.

Ésta última característica es en las que mayormente se ve enfocado el análisis que haremos en los mercados financieros.

Las técnicas basadas en el análisis fractal sugieren que el mercado exhibe una correlación temporal[10].

El primero en descubrir este comportamiento fue Mandelbrot quien aplicó este análisis a los precios diarios de algodón en 1963.

Hoy en día podemos encontrar las aplicaciones de los fractales en campos muy diversos como puede ser la biología, la geografía, la medicina, psicología, informática, finanzas, música, arte, etc.

Fractales en Finanzas

El análisis técnico es el estudio de los movimientos del mercado, básicamente a través de gráficos “charts”.

En los años 30 Ralph Nelson Elliot desarrolló su teoría, basada en la observación de los movimientos de los precios. Las tendencias que seguían los movimientos del mercado y sus posibles cambios tenían un comportamiento repetitivo en forma de patrones. Según Elliot la estructura completa está formada por cinco ondas en el sentido de la tendencia principal y tres ondas en fase correctiva posterior. Esta estructura está provocada por el comportamiento psicológico humano, en específico el miedo a la pérdida y la ambición a ganar. Sin buscar hacerlo, Elliot descubrió la naturaleza fractal de los gráficos de precios.

Es posible afirmar eso gracias a que se cumplen las siguientes propiedades:

  • Son auto-similares. Si miramos un gráfico de precios, sin escalas en los ejes, no sabremos distinguir si se trata de una serie de precios diarios, mensuales, anuales, etc.
  • Muestran alta sensibilidad a las condiciones iniciales. A partir de condiciones similares muestran un comportamiento totalmente distinto.
  • Tienen dimensión fractal, es decir, su dimensión no es entera.

Estas características contradicen los supuestos contenidos en la hipótesis del mercado eficiente y han dado pauta a la utilización de una medida conocida como el coeficiente de Hurst[11].

Por tanto, podemos decir que los mercados financieros son entornos complejos que se desarrollan entre el orden y el caos, donde pequeñas variaciones iniciales producen grandes cambios en los movimientos de los precios finales. Es decir, tienen alta sensibilidad en las condiciones iniciales, un simple rumor sobre la subida o bajada de acciones, puede causar a lo largo del tiempo que un sistema que parecía ordenado se transforme en un sistema totalmente caótico y que al parecer este regido más por el azar que por la naturaleza.

Aplicación del método fractal al mercado financiero[12]

Con la finalidad de explicar de manera teórica lo que sería un análisis estadístico, probabilístico y fractal para estudiar series de tiempo tanto índices bursátiles como divisas e incluso niveles de volatilidad, se proponen los siguientes pasos que cumplirán la hipótesis de que el mercado financiero sigue un movimiento browniano fraccionario capaz de ser estudiado con el análisis fractal:

  • Selección de series para el análisis[13]
  • Análisis estadístico de las series
  • Determinar si la rentabilidad de las series cumplen una distribución normal
  • Estimación del coeficiente de Hurst
  • Cálculo de la dimensión fractal
  • Identificar la invarianza a escala

Conclusiones

Tras el estudio del análisis estadístico y fractal de las series de retorno de distintos activos como índices, divisas y volatilidad es posible mostrar que no siguen un comportamiento aleatorio puro, random walk, sino que están sesgados, es decir, siguen lo que se llama un comportamiento browniano fraccionario.

Por tanto se puede llegar a la conclusión de que las herramientas derivadas de la geometría fractal nos permiten realizar un análisis de mercado más realista en cuanto a sus supuestos y con mayor consistencia en las observaciones empíricas. Los mercados financieros distan mucho de ajustarse al comportamiento postulado por los modelos tradicionales y a la hipótesis de los mercados eficientes, es por eso que los estudios basados en ella distan mucho de la realidad, y por tanto de ser completamente confiables.

En los mercados financieros emergen patrones inesperados, por esta razón, los modelos fractales se constituyen como una opción científica para quienes operan en las bolsas de valores, por su capacidad para analizar el valor de una sola variable que evoluciona a lo largo del tiempo.

En un futuro muy lejano, el análisis fractal podría configurar una herramienta muy útil dentro del análisis técnico que al poder determinar los comportamientos e incluso los patrones ayude a mejorar y crear nuevos modelos de trading.

Frida Ruíz

Notas:

[1] Los modelos lineales son aquellos que no se pueden estimar por los métodos conocidos hasta ahora debido a la no linealidad existente en los parámetros.

[2] La teoría de paseo aleatorio, dice que estos precios de mercado no están influenciados por los movimientos anteriores, por lo que es imposible de predecir (con precisión) que la dirección se moverá el mercado.

[3] Cuando no hay autocorrelación en el tiempo, el proceso se denomina puramente aleatorio o ruido blanco. Conceptualmente ruido blanco implica independencia de cada valor (el proceso no tiene memoria, no se pueden hacer predicciones), es decir, autocorrelación nula y también  normalidad, supuesto este último imposible de verificar.

[4] El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas que se hallan en un medio fluido (por ejemplo, polen en una gota de agua), estos movimientos pueden explicarse a escala molecular por una serie de colisiones en una dimensión en la cual, pequeñas partículas experimentan choques con una partícula mayor.

[5] Lo cual indica que hay una gran cantidad de datos cercanos a la media de la distribución normal.

[6] Entiéndase por geometría que un objeto posee las mismas propiedades y sistemas formales o axiomáticos.

[7] Tienen las mismas propiedades en todas las direcciones.

[8] Diferentes escalas en todas las direcciones.

[9] Normalmente consideramos que los puntos tienen dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2 y los volúmenes 3. A esta idea de dimensión se le llama dimensión topológica o euclidiana.

[10] Las fluctuaciones volátiles tienden a ocurrir con una determinada tendencia.

[11] El coeficiente de Hurst hace referencia a la persistencia en una serie temporal. Cuando  se estima el exponente de Hurst, el resultado refleja  un proceso de memoria larga o un proceso de la memoria a corta, tal como la autocorrelación.

[12] Actualmente ya existen análisis aplicados al índice de S&P , Dow Jones, VIX Index, tipo de cambio USDJPY, tipo de cambio USDGBP, entre otros. Para mayor información consultar “Fractales en los mercados financieros (2008 – 2009)” de Amma Battle Joher y Sandra Grébol Montoro.

[13] El principal criterio de selección de las series se ha basado en encontrar aquellas de alta frecuencia y largas debido a que nos permite mayores posibilidades de análisis de fiabilidad para obtener conclusiones más contundentes.

Referencias

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